Universität Karlsruhe (TH) Karlsruhe, 19.12.1990 Mathematisches Institut II Dr. W. Trinks

Algebra I — Übungsblatt 10

Aufgabe 48 (2 Punkte) Sei D : V_{4} → GL_{4}(C) die reguläre Darstellung der Kleinschen Vierergruppe. Geben Sie alle D(σ) (σ ∈ V_{4} ) explizit an.

Aufgabe 49 (3 Punkte) Es bezeichne D : Z_{n} → GL_{n}(C) eine Darstellung der zyklischen Gruppe Z_{n} = ⟨σ⟩.

(a) D ist durch D(σ) bereits eindeutig festgelegt.

(b) Geben Sie für die reguläre Darstellung D die Matrix D(σ) explizit an.

(c) Sind ζ_{1}, …, ζ_{n} n-te Einheitswurzeln in C, so ist durch D(σ) := ( \begin{matrix}ζ_{1} & & & & 0 \\ & . & . & . \\ 0 & & & & ζ_{n} \end{matrix} ) eine Darstellung

der Z_{n} gegeben. Unter welcher Bedingung ist diese Darstellung zur regulären Darstellung aus (b) äquivalent?

Aufgabe 50 (3 Punkte) Geben Sie alle ”eindimensionalen“ Darstellungen D : G → GL_{1}(C)

(a) der zyklischen Gruppe G = Z_{n},

(b) einer beliebigen endlichen abelschen Gruppe G an. Wieviele solche Darstellungen gibt es?

Aufgabe 51 (3 Punkte) Sei V ein K -Vektorraum mit der Basis (b_{1}, …, b_{n}), char(K)/ |n, G eine Gruppe und D eine Permutationsdarstellung von G bezüglich (b_{1}, …, b_{n}). Zeigen Sie, daß U_{1} := K · (b_{1} + ⋯ + b_{n}) ein K[G]-Untermodul von V ist, und bestimmen Sie einen K[G]-Untermodul U_{2} von V mit V = U_{1} ⊕ U_{2} sowie eine K -Basis von U_{2} .

Aufgabe 52 (3 Punkte) Zeigen Sie: Die Konjugationsklassen der S_{n} entsprechen bijektiv den Lösungen (λ_{1}, …, λ_{n}) ∈ IN_{0}^{n} der Gleichung 1 · λ_{1} + 2 · λ_{2} + ⋯ + n · λ_{n} = n. Dabei hat die (λ_{1}, …, λ_{n}) entsprechende Konjugationsklasse

genau \frac{n!}{1^{λ_{1}}2^{λ_{2}} ⋯ n^{λ_{n}} · λ_{1}!λ_{2}! ⋯ λ_{n}!} Elemente.

Aufgabe 53 (6 Punkte) Bestimmen Sie eine Charaktertafel (Wertetabelle aller Charaktere von irreduziblen Darstellungen über C)

(a) der Z_{3} ,

(b) der S_{3} ,

(c) der A_{4} ,

(d) der S_{4} . (Hinweis: Benutzen Sie die Orthogonalitätsrelationen.)

Abgabe: Bis spätestens Dienstag, 8.1.1991, 11.15 Uhr in den Kasten bei Zi. 308 des Mathematikgebäudes oder in der Übung im Neuen Hörsaal.